Pytorch learning notes5 –线性神经网络

线性回归

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。 在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。

线性回归的基本元素

线性回归基于几个简单的假设： 首先，假设自变量𝑥和因变量𝑦之间的关系是线性的， 即𝑦可以表示为𝑥中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声； 其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子： 我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。 为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。 这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。 在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set） 或训练集（training set）。 每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample）， 也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。 我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。 预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用𝑛来表示数据集中的样本数。 对索引为𝑖的样本，其输入表示为𝑥(𝑖)=[𝑥1(𝑖),𝑥2(𝑖)]⊤， 其对应的标签是𝑦(𝑖)。

线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

(3.1.1)price=𝑤area⋅area+𝑤age⋅age+𝑏.

其中的𝑤area和𝑤age 称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。 𝑏称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。 偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。 即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。 如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说， (3.1.1)是输入特征的一个 仿射变换（affine transformation）。 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重𝑤和偏置𝑏， 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。 输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。 当我们的输入包含𝑑个特征时，我们将预测结果𝑦^ （通常使用“尖角”符号表示𝑦的估计值）表示为：

​ 𝑦^=𝑤1𝑥1+…+𝑤𝑑𝑥𝑑+𝑏.

将所有特征放到向量𝑥∈𝑅𝑑中， 并将所有权重放到向量𝑤∈𝑅𝑑中， 我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

​ 𝑦^=𝑤⊤𝑥+𝑏.

在 (3.1.3)中， 向量𝑥对应于单个数据样本的特征。 用符号表示的矩阵𝑋∈𝑅𝑛×𝑑 可以很方便地引用我们整个数据集的𝑛个样本。 其中，𝑋的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合𝑋，预测值𝑦^∈𝑅𝑛 可以通过矩阵-向量乘法表示为：

(3.1.4)𝑦^=𝑋𝑤+𝑏

这个过程中的求和将使用广播机制。 给定训练数据特征𝑋和对应的已知标签𝑦， 线性回归的目标是找到一组权重向量𝑤和偏置𝑏： 当给定从𝑋的同分布中取样的新样本特征时， 这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定𝑥预测𝑦的最佳模型会是线性的， 但我们很难找到一个有𝑛个样本的真实数据集，其中对于所有的1≤𝑖≤𝑛，𝑦(𝑖)完全等于𝑤⊤𝑥(𝑖)+𝑏。 无论我们使用什么手段来观察特征𝑋和标签𝑦， 都可能会出现少量的观测误差。 因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的， 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。 损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本𝑖的预测值为𝑦^(𝑖)，其相应的真实标签为𝑦(𝑖)时， 平方误差可以定义为以下公式：

(3.1.5)𝑙(𝑖)(𝑤,𝑏)=12(𝑦^(𝑖)−𝑦(𝑖))2.

常数12不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。 由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。 为了进一步说明，来看下面的例子。 我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如图所示。

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图3.1.1 用线性模型拟合数据。

由于平方误差函数中的二次方项， 估计值𝑦^(𝑖)和观测值𝑦(𝑖)之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集𝑛个样本上的损失均值（也等价于求和）。

(3.1.6)𝐿(𝑤,𝑏)=1𝑛∑𝑖=1𝑛𝑙(𝑖)(𝑤,𝑏)=1𝑛∑𝑖=1𝑛12(𝑤⊤𝑥(𝑖)+𝑏−𝑦(𝑖))2.

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（𝑤∗,𝑏∗）， 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

​ 𝑤∗,𝑏∗=argmin𝑤,𝑏 𝐿(𝑤,𝑏).

解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。 与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）。 首先，我们将偏置𝑏合并到参数𝑤中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。 我们的预测问题是最小化‖𝑦−𝑋𝑤‖2。 这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。 将损失关于𝑤的导数设为0，得到解析解：

𝑤∗=(𝑋⊤𝑋)−1𝑋⊤𝑦.

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。 解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。 在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。 因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量𝐵， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数𝜂，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（𝜕表示偏导数）：

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公式 (3.1.10)中的𝑤和𝑥都是向量。 在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如𝑤1,𝑤2,…,𝑤𝑑）更具可读性。 |𝐵|表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 𝜂表示学习率（learning rate）。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后）， 我们记录下模型参数的估计值，表示为𝑤^,𝑏^。 但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。 因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。 深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。 事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。

用模型进行预测

给定“已学习”的线性回归模型𝑤^⊤𝑥+𝑏^， 现在我们可以通过房屋面积𝑥1和房龄𝑥2来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。 给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

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%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑对向量相加的两种方法。 我们实例化两个全为1的10000维向量。 在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量； 在另一种方法中，我们将依赖对+的调用。

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n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])

由于我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以我们定义一个计时器：

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class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()

    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()

    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]

    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)

    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)

    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

现在我们可以对工作负载进行基准测试。

首先，我们使用for循环，每次执行一位的加法。

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c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
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'0.16749 sec'

或者，我们使用重载的+运算符来计算按元素的和。

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timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
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'0.00042 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。 矢量化代码通常会带来数量级的加速。 另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性

正态分布与平方损失

定义一个Python函数来计算正态分布

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def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

可视化正态分布。

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# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

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线性回归的从零开始实现

从零开始实现整个方法， 包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器。 

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%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。 我们的任务是使用这个有限样本的数据集来恢复这个模型的参数。 我们将使用低维数据，这样可以很容易地将其可视化。 在下面的代码中，我们生成一个包含1000个样本的数据集， 每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。 我们的合成数据集是一个矩阵𝑋∈𝑅1000×2。

我们使用线性模型参数𝑤=[2,−3.4]⊤、𝑏=4.2 和噪声项𝜖生成数据集及其标签：

(3.2.1)𝑦=𝑋𝑤+𝑏+𝜖.

𝜖可以视为模型预测和标签时的潜在观测误差。 在这里我们认为标准假设成立，即𝜖服从均值为0的正态分布。 为了简化问题，我们将标准差设为0.01。 下面的代码生成合成数据集。

生成数据集

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def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

注意，features中的每一行都包含一个二维数据样本， labels中的每一行都包含一维标签值（一个标量）。

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print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])
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features: tensor([1.4632, 0.5511])
label: tensor([5.2498])

通过生成第二个特征features[:, 1]和labels的散点图， 可以直观观察到两者之间的线性关系。

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d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);

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读取数据集

定义一个data_iter函数， 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量。 每个小批量包含一组特征和标签。

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def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

感受一下小批量运算：读取第一个小批量数据样本并打印。 每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。 同样的，批量的标签形状与batch_size相等。

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batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, '\n', y)
    break
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tensor([[ 0.3934,  2.5705],
        [ 0.5849, -0.7124],
        [ 0.1008,  0.6947],
        [-0.4493, -0.9037],
        [ 2.3104, -0.2798],
        [-0.0173, -0.2552],
        [ 0.1963, -0.5445],
        [-1.0580, -0.5180],
        [ 0.8417, -1.5547],
        [-0.6316,  0.9732]])
 tensor([[-3.7623],
        [ 7.7852],
        [ 2.0443],
        [ 6.3767],
        [ 9.7776],
        [ 5.0301],
        [ 6.4541],
        [ 3.8407],
        [11.1396],
        [-0.3836]])

初始化模型参数

我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重， 并将偏置初始化为0。

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w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。 每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。 有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。 因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。 我们使用自动微分章节中引入的自动微分来计算梯度。

定义模型

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def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

定义损失函数

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def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

定义优化算法

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。 接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。 下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。 该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每 一步更新的大小由学习速率lr决定。 因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size） 来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

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def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

训练

在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。 计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。 最后，我们调用优化算法sgd来更新模型参数。

我们将执行以下循环：

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在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集， 并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。 这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。 设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。 

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lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
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epoch 1, loss 0.042790
epoch 2, loss 0.000162
epoch 3, loss 0.000051

计算误差

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print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')
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w的估计误差: tensor([-1.3804e-04,  5.7936e-05], grad_fn=<SubBackward0>)
b的估计误差: tensor([0.0006], grad_fn=<RsubBackward1>)

线性回归的Pytorch实现

生成数据集

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import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

读取数据集

调用框架中现有的API来读取数据。 我们将features和labels作为API的参数传递，并通过数据迭代器指定batch_size。 此外，布尔值is_train表示是否希望数据迭代器对象在每个迭代周期内打乱数据。

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def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save
    """构造一个PyTorch数据迭代器"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

使用data_iter的方式与我们之前使用data_iter函数的方式相同。为了验证是否正常工作，让我们读取并打印第一个小批量样本。 与 之前不同，这里我们使用iter构造Python迭代器，并使用next从迭代器中获取第一项。

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next(iter(data_iter))
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[tensor([[-1.3116, -0.3062],
         [-1.5653,  0.4830],
         [-0.8893, -0.9466],
         [-1.2417,  1.6891],
         [-0.7148,  0.1376],
         [-0.2162, -0.6122],
         [ 2.4048, -0.3211],
         [-0.1516,  0.4997],
         [ 1.5298, -0.2291],
         [ 1.3895,  1.2602]]),
 tensor([[ 2.6073],
         [-0.5787],
         [ 5.6339],
         [-4.0211],
         [ 2.3117],
         [ 5.8492],
         [10.0926],
         [ 2.1932],
         [ 8.0441],
         [ 2.6943]])]

定义模型

当我们在之前中实现线性回归时， 我们明确定义了模型参数变量，并编写了计算的代码，这样通过基本的线性代数运算得到输出。 但是，如果模型变得更加复杂，且当我们几乎每天都需要实现模型时，自然会想简化这个过程。 这种情况类似于为自己的博客从零开始编写网页。 做一两次是有益的，但如果每个新博客就需要工程师花一个月的时间重新开始编写网页，那并不高效。

对于标准深度学习模型，我们可以使用框架的预定义好的层。这使我们只需关注使用哪些层来构造模型，而不必关注层的实现细节。 我们首先定义一个模型变量net，它是一个Sequential类的实例。 Sequential类将多个层串联在一起。 当给定输入数据时，Sequential实例将数据传入到第一层， 然后将第一层的输出作为第二层的输入，以此类推。 在下面的例子中，我们的模型只包含一个层，因此实际上不需要Sequential。 但是由于以后几乎所有的模型都是多层的，在这里使用Sequential会让你熟悉“标准的流水线”。

回顾之前中的单层网络架构， 这一单层被称为全连接层（fully-connected layer）， 因为它的每一个输入都通过矩阵-向量乘法得到它的每个输出。

在PyTorch中，全连接层在Linear类中定义。 值得注意的是，我们将两个参数传递到nn.Linear中。 第一个指定输入特征形状，即2，第二个指定输出特征形状，输出特征形状为单个标量，因此为1。

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# nn是神经网络的缩写
from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

初始化模型参数

在使用net之前，我们需要初始化模型参数。 如在线性回归模型中的权重和偏置。 深度学习框架通常有预定义的方法来初始化参数。 在这里，我们指定每个权重参数应该从均值为0、标准差为0.01的正态分布中随机采样， 偏置参数将初始化为零。

正如我们在构造nn.Linear时指定输入和输出尺寸一样， 现在我们能直接访问参数以设定它们的初始值。 我们通过net[0]选择网络中的第一个图层， 然后使用weight.data和bias.data方法访问参数。 我们还可以使用替换方法normal_和fill_来重写参数值。

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net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)
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tensor([0.])

定义损失函数

计算均方误差使用的是MSELoss类，也称为平方𝐿2范数。 默认情况下，它返回所有样本损失的平均值。

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loss = nn.MSELoss()

定义优化算法

小批量随机梯度下降算法是一种优化神经网络的标准工具， PyTorch在optim模块中实现了该算法的许多变种。 当我们实例化一个SGD实例时，我们要指定优化的参数 （可通过net.parameters()从我们的模型中获得）以及优化算法所需的超参数字典。 小批量随机梯度下降只需要设置lr值，这里设置为0.03。

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trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

通过深度学习框架的高级API来实现我们的模型只需要相对较少的代码。 我们不必单独分配参数、不必定义我们的损失函数，也不必手动实现小批量随机梯度下降。 当我们需要更复杂的模型时，高级API的优势将大大增加。 当我们有了所有的基本组件，训练过程代码与我们从零开始实现时所做的非常相似。

回顾一下：在每个迭代周期里，我们将完整遍历一次数据集（train_data）， 不停地从中获取一个小批量的输入和相应的标签。 对于每一个小批量，我们会进行以下步骤:

  • 通过调用net(X)生成预测并计算损失l（前向传播）。
  • 通过进行反向传播来计算梯度。
  • 通过调用优化器来更新模型参数。

为了更好的衡量训练效果，我们计算每个迭代周期后的损失，并打印它来监控训练过程。

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num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X) ,y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')
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epoch 1, loss 0.000248
epoch 2, loss 0.000103
epoch 3, loss 0.000103

比较生成数据集的真实参数和通过有限数据训练获得的模型参数。 要访问参数，我们首先从net访问所需的层，然后读取该层的权重和偏置。 正如在从零开始实现中一样，我们估计得到的参数与生成数据的真实参数非常接近。

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w = net[0].weight.data
print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差：', true_b - b)
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w的估计误差： tensor([-0.0010, -0.0003])
b的估计误差： tensor([-0.0003])

softmax回归

softmax其实是个分类问题

回归可以用于预测多少的问题。 比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。

分类问题

回归：估计一个连续值

分类：预测一个离散类别

从回归到多类分类—-均方损失

  • 对类别进行一位有效编码

    y=[y1,y2,…,yn]^T

  • 使用均方损失进行训练

  • 最大值为预测

    y^=argmax 0i

softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。 为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出𝑦^𝑗可以视为属于类𝑗的概率， 然后选择具有最大输出值的类别argmax𝑗𝑦𝑗作为我们的预测。 例如，如果𝑦^1、𝑦^2和𝑦^3分别为0.1、0.8和0.1， 那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。

然而我们能否将未规范化的预测𝑜直接视作我们感兴趣的输出呢？ 答案是否定的。 因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题： 一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。 另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。 这些违反了 2.6节中所说的概率基本公理。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。 此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。 例如， 在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。 这个属性叫做校准（calibration）

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这里，对于所有的𝑗总有0≤𝑦^𝑗≤1。 因此，𝑦^可以视为一个正确的概率分布。 softmax运算不会改变未规范化的预测𝑜之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。 因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

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尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。 因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）

图像分类数据集

MNIST数据集是图像分类中广泛使用的数据集之一，但作为基准数据集过于简单。 我们将使用类似但更复杂的Fashion-MNIST数据集 。

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%matplotlib inline
import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l

d2l.use_svg_display()

读取数据集

我们可以通过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中。

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# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得所有像素的数值均在0～1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=False, transform=trans, download=True)

Fashion-MNIST由10个类别的图像组成， 每个类别由训练数据集（train dataset）中的6000张图像 和测试数据集（test dataset）中的1000张图像组成。 因此，训练集和测试集分别包含60000和10000张图像。 测试数据集不会用于训练，只用于评估模型性能。

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len(mnist_train), len(mnist_test)
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(60000, 10000)

Fashion-MNIST中包含的10个类别，分别为t-shirt（T恤）、trouser（裤子）、pullover（套衫）、dress（连衣裙）、coat（外套）、sandal（凉鞋）、shirt（衬衫）、sneaker（运动鞋）、bag（包）和ankle boot（短靴）。 以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换。

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def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save
    """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

我们现在可以创建一个函数来可视化这些样本。

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def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save
    """绘制图像列表"""
    figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
    _, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
    axes = axes.flatten()
    for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
        if torch.is_tensor(img):
            # 图片张量
            ax.imshow(img.numpy())
        else:
            # PIL图片
            ax.imshow(img)
        ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        if titles:
            ax.set_title(titles[i])
    return axes

以下是训练数据集中前几个样本的图像及其相应的标签。

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X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y));

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读取小批量

为了使我们在读取训练集和测试集时更容易，我们使用内置的数据迭代器，而不是从零开始创建。 回顾一下，在每次迭代中，数据加载器每次都会读取一小批量数据，大小为batch_size。 通过内置数据迭代器，我们可以随机打乱了所有样本，从而无偏见地读取小批量。

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batch_size = 256

def get_dataloader_workers():  #@save
    """使用4个进程来读取数据"""
    return 4

train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                             num_workers=get_dataloader_workers())

看一下读取训练数据所需的时间。

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timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
    continue
f'{timer.stop():.2f} sec'
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'3.37 sec'

整合所有组件

定义load_data_fashion_mnist函数，用于获取和读取Fashion-MNIST数据集。 这个函数返回训练集和验证集的数据迭代器。 此外，这个函数还接受一个可选参数resize，用来将图像大小调整为另一种形状。

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def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))

下面，我们通过指定resize参数来测试load_data_fashion_mnist函数的图像大小调整功能。

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train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break
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torch.Size([32, 1, 64, 64]) torch.float32 torch.Size([32]) torch.int64

softmax回归的从零开始实现

使用刚刚在之前中引入的Fashion-MNIST数据集， 并设置数据迭代器的批量大小为256。

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import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表示。 原始数据集中的每个样本都是28×28的图像。 本节将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。 在后面的章节中，我们将讨论能够利用图像空间结构的特征， 但现在我们暂时只把每个像素位置看作一个特征。

回想一下，在softmax回归中，我们的输出与类别一样多。 因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。 因此，权重将构成一个784×10的矩阵， 偏置将构成一个1×10的行向量。 与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重W，偏置初始化为0。

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num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

定义softmax操作

在实现softmax回归模型之前，我们简要回顾一下sum运算符如何沿着张量中的特定维度工作。 如 2.3.6节和 2.3.6.1节所述， 给定一个矩阵X，我们可以对所有元素求和（默认情况下）。 也可以只求同一个轴上的元素，即同一列（轴0）或同一行（轴1）。 如果X是一个形状为(2, 3)的张量，我们对列进行求和， 则结果将是一个具有形状(3,)的向量。 当调用sum运算符时，我们可以指定保持在原始张量的轴数，而不折叠求和的维度。 这将产生一个具有形状(1, 3)的二维张量。

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X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)
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(tensor([[5., 7., 9.]]),
 tensor([[ 6.],
         [15.]]))

回想一下，实现softmax由三个步骤组成：

  1. 对每个项求幂（使用exp）；
  2. 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
  3. 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。

回顾一下这个表达式

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分母或规范化常数，有时也称为配分函数（其对数称为对数-配分函数）。

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def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

正如上述代码，对于任何随机输入，我们将每个元素变成一个非负数。 此外，依据概率原理，每行总和为1。

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X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)
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(tensor([[0.1686, 0.4055, 0.0849, 0.1064, 0.2347],
         [0.0217, 0.2652, 0.6354, 0.0457, 0.0321]]),
 tensor([1.0000, 1.0000]))

定义模型

定义softmax操作后，我们可以实现softmax回归模型。 下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。 注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

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def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

定义损失函数

下来，我们实现之前引入的交叉熵损失函数。 这可能是深度学习中最常见的损失函数，因为目前分类问题的数量远远超过回归问题的数量。

回顾一下，交叉熵采用真实标签的预测概率的负对数似然。 这里我们不使用Python的for循环迭代预测（这往往是低效的）， 而是通过一个运算符选择所有元素。 下面，我们创建一个数据样本y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率， 以及它们对应的标签y。 有了y，我们知道在第一个样本中，第一类是正确的预测； 而在第二个样本中，第三类是正确的预测。 然后使用y作为y_hat中概率的索引， 我们选择第一个样本中第一个类的概率和第二个样本中第三个类的概率。

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y = torch.tensor([0, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y_hat[[0, 1], y]
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tensor([0.1000, 0.5000])

现在我们只需一行代码就可以实现交叉熵损失函数。

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def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

cross_entropy(y_hat, y)
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tensor([2.3026, 0.6931])

分类精度

给定预测概率分布y_hat，当我们必须输出硬预测（hard prediction）时， 我们通常选择预测概率最高的类。 许多应用都要求我们做出选择。如Gmail必须将电子邮件分类为“Primary（主要邮件）”、 “Social（社交邮件）”“Updates（更新邮件）”或“Forums（论坛邮件）”。 Gmail做分类时可能在内部估计概率，但最终它必须在类中选择一个。

当预测与标签分类y一致时，即是正确的。 分类精度即正确预测数量与总预测数量之比。 虽然直接优化精度可能很困难（因为精度的计算不可导）， 但精度通常是我们最关心的性能衡量标准，我们在训练分类器时几乎总会关注它。

为了计算精度，我们执行以下操作。 首先，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。 我们使用argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。 然后我们将预测类别与真实y元素进行比较。 由于等式运算符“==”对数据类型很敏感， 因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。 结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。 最后，我们求和会得到正确预测的数量。

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def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

我们将继续使用之前定义的变量y_hat和y分别作为预测的概率分布和标签。 可以看到，第一个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.6，索引为2），这与实际标签0不一致。 第二个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.5，索引为2），这与实际标签2一致。 因此，这两个样本的分类精度率为0.5。

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accuracy(y_hat, y) / len(y)
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0.5

同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集， 我们可以评估在任意模型net的精度。

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def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]

这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。 在上面的evaluate_accuracy函数中， 我们在Accumulator实例中创建了2个变量， 分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。 当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

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class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

由于我们使用随机权重初始化net模型， 因此该模型的精度应接近于随机猜测。 例如在有10个类别情况下的精度为0.1。

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evaluate_accuracy(net, test_iter)
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0.0625

训练

在这里，我们重构训练过程的实现以使其可重复使用。 首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。 请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。 它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

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def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

在展示训练函数的实现之前，我们定义一个在动画中绘制数据的实用程序类Animator， 它能够简化本书其余部分的代码。

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class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

接下来我们实现一个训练函数， 它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。 该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。 在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。 我们将利用Animator类来可视化训练进度。

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def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型（定义见第3章）"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

作为一个从零开始的实现，我们使用之前定义的 小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。

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lr = 0.1

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

现在，我们训练模型10个迭代周期。 请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。 通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。

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num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

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预测

现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。 给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

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def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签（定义见第3章）"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)

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softmax的Pytorch实现

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from mxnet import gluon, init, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
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[07:03:36] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU

初始化模型参数

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net = nn.Sequential()
net.add(nn.Dense(10))
net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))

定义损失函数

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loss = gluon.loss.SoftmaxCrossEntropyLoss()

优化算法

在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。 这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

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trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': 0.1})

训练

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num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

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————————————————-来自李沐大神的学习笔记